抽象代數(shù)簡(jiǎn)介

發(fā)布時(shí)間：2025-12-11 | 來(lái)源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

在中學(xué)階段就學(xué)習(xí)過(guò)***，部分內(nèi)容不再贅述。以下是交集、并集、差集的概念：

設(shè)是一個(gè)***，那么的所有子集為成員構(gòu)成的幾何成為是冪集，記作。

設(shè)是兩個(gè)***，定義***

稱為與的笛卡爾積，又稱卡氏積，***積。

***中元素個(gè)數(shù)稱為***的基數(shù)，記作。如果是無(wú)限的，則，稱是無(wú)限集，否則是有限集。

***中的元素相互之間可能有關(guān)系（也可能沒(méi)有關(guān)系）。例如全校的學(xué)生構(gòu)成一個(gè)***，某些學(xué)生可能是同班同學(xué)，那么他們就有關(guān)系。等價(jià)關(guān)系類似于數(shù)集中的“等于”的關(guān)系，要求滿足：

偏序關(guān)系類似于數(shù)集中的“大于等于/小于等于”的關(guān)系，要求滿足：

等價(jià)不一定是等于例如一個(gè)學(xué)校的學(xué)生構(gòu)成的***，同班就是一種等價(jià)關(guān)系。甲乙同班乙丙同班，那么甲丙同班……我們把和都等價(jià)的元素構(gòu)成的***，稱為等價(jià)類：

以的所有等價(jià)類構(gòu)成的***，稱為關(guān)于等價(jià)關(guān)系的商集。

定義：設(shè)是一個(gè)非空***，滿足

那么稱為一個(gè)半群。

例如正整數(shù)的***關(guān)于加法運(yùn)算是半群，客觀上還滿足交換律，是“加法半群”。

再如矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但是不滿足交換律，所以固定階數(shù)的矩陣也可以看作半群。

定義：設(shè)是一個(gè)非空***，滿足

那么稱為一個(gè)幺半群。這樣特殊的元素被稱為“單位元”，記作。

前文提到的不是幺半群，因?yàn)樗鼪](méi)有單位元。而矩陣有單位矩陣，所以是幺半群。

定義：設(shè)是一個(gè)非空***，滿足

那么稱為一個(gè)群。這里提及的關(guān)于是唯一的，稱其為逆元，記作。即。

例如整數(shù)集關(guān)于加法運(yùn)算是群，客觀上還滿足交換律，是“加法群”。群如果滿足交換律，就稱為交換群，又稱Abel群（阿貝爾群），又稱加群。

例如所有的階可逆復(fù)矩陣構(gòu)成的***是一個(gè)群，可以稱為“n級(jí)一般線性群”。

映射在中學(xué)階段已經(jīng)接觸過(guò)，此處不表。若矩陣自己到自己的映射，稱為的變換。用來(lái)記***所有變換的***。來(lái)記***所有可逆變換的***。

設(shè)是群是從群到群的映射，如果這一映射滿足

則把這一映射稱為同態(tài)。

如果是單射就是單同態(tài)；若是滿射，就是滿同態(tài)；如果是雙射，就是同構(gòu)。

定義：設(shè)是一個(gè)非空***，滿足

那么稱為一個(gè)環(huán)。

在環(huán)的基礎(chǔ)上，有乘法單位元，稱為“幺環(huán)”。

定義：設(shè)是一個(gè)非空***，滿足

那么稱為一個(gè)幺環(huán)。

在環(huán)的基礎(chǔ)上，有乘法的交換律，稱為“交換環(huán)”。

定義：設(shè)是一個(gè)非空***，滿足

那么稱為一個(gè)交換環(huán)。

例子

設(shè)是環(huán)是從環(huán)到環(huán)的映射，如果這一映射滿足

則把這一映射稱為同態(tài)。

如果是單射就是單同態(tài)；若是滿射，就是滿同態(tài)；如果是雙射，就是同構(gòu)。

如果均為幺環(huán)，在同態(tài)的基礎(chǔ)上，滿足，則稱為幺同態(tài)。

設(shè)是環(huán)是它的一個(gè)非空子環(huán)，滿足

則把稱為的理想。

一個(gè)非零環(huán)至少有兩個(gè)理想和自身，分別稱為零理想和單位理想，二者合稱平凡理想。

對(duì)于環(huán)的非零元，如果存在另一個(gè)非零元，使得，則稱為左零因子。類似地可以定義右零因子。在交換環(huán)中零因子沒(méi)有左右之分。

沒(méi)有零因子的環(huán)，稱為整環(huán)。

整環(huán)是交換的，滿足消去律的環(huán)。

如果可逆有唯一的逆元與之對(duì)應(yīng)。

記為環(huán)的所有可逆元的***，這個(gè)***是一個(gè)群。

如果一個(gè)環(huán)的非零元都可逆，即，那么稱為除環(huán)。

交換的除環(huán)稱為域。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，接觸過(guò)的有理數(shù)***、實(shí)數(shù)***和復(fù)數(shù)***都是域。再例如***也是域，它是的非空子域。

前文提及用基數(shù)描述***中元素的個(gè)數(shù)。但是當(dāng)***中元素有無(wú)窮多的時(shí)候，就有些無(wú)能為力。

定義：若***和之間能夠建立一個(gè)雙射，則稱這兩個(gè)***對(duì)等，記為。

***之間的對(duì)等關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系，滿足自反律、傳遞律、對(duì)稱律。

和自然數(shù)***對(duì)等的***稱為可數(shù)無(wú)窮集，簡(jiǎn)稱可數(shù)集。它需要存在一個(gè)和一一對(duì)應(yīng)的雙射。

不和自然數(shù)***對(duì)等的無(wú)窮極和，稱為不可數(shù)無(wú)窮集，簡(jiǎn)稱不可數(shù)集。

整數(shù)***是一個(gè)可數(shù)集，把整數(shù)如下排列：

可以寫出這個(gè)序列的通項(xiàng)公式，從而構(gòu)建了雙射。

偶數(shù)***、完全平方數(shù)***等，都是可數(shù)集。

有理數(shù)***是一個(gè)可數(shù)集，把有理數(shù)如下排列：

可以寫出這個(gè)序列的通項(xiàng)公式，從而構(gòu)建了雙射。

平面直角坐標(biāo)系中，自然數(shù)點(diǎn)集是一個(gè)可數(shù)集，類似于有理數(shù)***的證法。

代數(shù)數(shù)***也是一個(gè)可數(shù)集。實(shí)數(shù)***是不可數(shù)***。

和自然數(shù)***對(duì)等的***是可數(shù)集。

類似地和實(shí)數(shù)集對(duì)等的***是連續(xù)統(tǒng)。